15개 소과제 풀이



- 목 차 -

15개 소과제 풀이

참고문헌

1. 확률변수의 개념 및 확률변수와 표본평균 간의 관계를 간단히 기술하시오.

[풀이]
1) 확률변수 개념
확률변수(Probability Variable)는 불확실한 실험의 결과를 숫자로 나타내는 함수이다. 확률변수는 확률 실험의 결과에 의해 결정되는 값이다. 확률적 실험에서 실험의 결과를 수치화할 때, 실험의 결과마다 실수를 대응하는 함수를 의미한다. 즉, 확률변수란 표본공간에서 어떤 사건에 숫자를 대응시켜준 것으로 일반적으로 X로 표시한다. 이산 확률변수는 특정한 값을 가질 수 있는 변수로, 이러한 값들은 연속적이지 않고, 주로 정수로 이루어진다. 연속 확률변수는 특정 구간 내에서 모든 값을 가질 변수이다. 이 변수가 취할 수 있는 값들은 실수로 무수히 많다.
학생의 시험 성적을 확률변수로 설명하면, 학생이 시험을 본다고 가정해 보자. 이 시험은 100점 만점으로 평가되며, 학생이 취득할 수 있는 점수는 0점에서 100점까지의 정수이다. 이 경우, 학생의 성적을 확률변수 X로 정의할 수 있다. 학생이 성적을 취득할 수 있는 가능한 값은 0, 1, 2,…, 100으로 총 101개의 이산적인 값이 존재한다. 각 점수에 대하여 특정한 확률을 할당할 수 있다. 성적이 90점 이상일 확률이 P(X ≥ 90)라고 할 때, 시험의 난이도나 학생의 준비 상태에 따라 이 확률은 0.3일 수도 있고, 0.1일 수도 있다. 이와 같이 확률변수를 정의하면, 학생의 성적에 대한 다양한 통계적 분석을 수행할 수 있다. 확률변수에 대응하는 모든 값에 대해 확률로 표시한 것을 확률분포라 한다.

2) 확률변수와 표본평균 간의 관계
표본평균이란, 모집단에서 표본추출법을 이용해 추출한 표본의 평균이다. 평균(표본평균)들의 표본분포의 전체평균은 모집단의 평균(μ)과 같다. n이 크면, 평균(표본평균)들의 표본분포는 정규분포를 이룬다. 표본평균의 표준편차는 차이가 없으므로 조정계수를 무시해도 좋으나 모집단의 크기에 비해 표본의 크기가 크다면 조정계수를 사용하여 조정해 주어야만 한다. 일반적으로 표본의 크기가 모집단의 5% 미만인 경우에는 조정계수를 무시하며 그렇지 않은 경우에는 조정계수를 이용하여 검정통계량을 구해야만 정확한 분석을 할 수 있다.
표본평균은 확률표본이 추출되는 것에 의해 특정 확률로 변화하게 되므로 표본평균은 확률변수라고 할 수 있다. n번 반복하여 추출된 표본의 평균값들은 확률변수이기 때문에 대응하는 발생 확률값이 된다. 표본평균의 확률분포는 평균 μ 및 표준편차 σ를 갖는 모집단으로부터 동일한 크기 n의 표본을 추출하여 평균을 계산할 때 표본평균의 확률분포를 의미한다. 따라서 표본(확률)분포는 모집단에서 일정한 크기의 가능한 표본을 추출하였을 경우, 표본으로부터 계산된 통계량의 확률분포가 된다.

2. 확률변수 Y의 표준편차가 5일 때, 확률변수 Y에 각각 2배를 곱하여 만든 새로운 확률변수 Z의 분산값을 구하시오.

[풀이]
분산(Variance)은 분산도를 파악하는 수단으로서 널리 쓰인다. 분산은 각 편차제곱의 합을 관찰값의 개수로 나눈 것을 말한다. 문제에서 확률변수 Y의 표준편차가 5일 때, 확률변수 Y = 2X로 정의된 경우 Y의 분산을 구할 수 있다.
분산과 표준편차의 관계는 SD(Y) =
​따라서, Y의 분산 Var(Y)는 표준편차의 제곱으로 계산된다.
Var(Y) = (SD(Y))2 = 52 = 25



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